Ні, не можете.

Відповідно до п. 2.12. Інструкції про порядок ведення трудових книжок працівників, затвердженої наказом Мінпраці, Мін'юсту, Мінсоцзахисту від 29.07.1993 р. № 58 (https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/z0110-93#Text), першу сторінку (титульний аркуш) трудової книжки підписує особа, відповідальна за видачу трудових книжок, і після цього ставиться печатка підприємства (або печатка відділу кадрів), на якому вперше заповнювалася трудова книжка. Тобто підписати та проставити печатку може лише перший роботодавець, який відкривав працівнику трудову книжку (якщо ж підприємство вже ліквідоване, печатку може проставити його правонаступник, а в разі його відсутності – вищестояща організація, якій було підпорядковане підприємство). Ви ж особисто, на жаль, не можете допомогти працівнику – проставити свій підпис та печатку замість першого роботодавця у Вас немає права. Роботодавець за останнім місцем роботи має право лише робити записи про зміну про прізвища, ім'я, по батькові чи дату народження працівника (приміром, якби попередній роботодавець не вніс запис про зміну прізвища працівника після укладення шлюбу, то Ви могли б це зробити, незважаючи на те, що зміна прізвища відбулась під час роботи у попереднього роботодавця).

Якщо ж Ви мали на увазі, що попередній роботодавець не засвідчив свої записи при звільненні працівника з роботи, то, звісно, Ви також не можете це зробити за нього – і виправляти неправильні записи, і засвідчувати записи може лише той роботодавець, який їх вніс.

Раді допомогти, звертайтесь ще!