Так. Без сумніву ви можете розширити назву посади Адміністратор до назви Адміністратор дитячої ігрової кімнати.

Це вам дозволяє зробити примітка 2 до додатка В (https://storage.kadroland.com/content25/documents/270125/dodatok_V_do_Klasyfikatora_profesii_DK_003-2010.pdf) до Класифікатора професій (https://kadroland.com/professions-classifier). Тут читаємо: "Назви професій можуть бути розширені за потребою користувача термінами та словами, які уточнюють місце роботи, виконувані роботи, сферу діяльності за умови дотримання лаконічності викладення, якщо інше не передбачено у КП чи відповідних законодавчо-правових актах".

З огляду ж на те що у класифікаторі немає посади Адміністратор дитячої ігрової кімнати її можна утворити від посади Адміністратор. Але у вашому випадку слід використовувати інший код КП, а саме 4222, а не Код КП 2419.3.
Адже під кодом КП 2419.3 маємо посаду "Адміністратор (органи державної влади та місцевого самоврядування)"
а у вашому випадку йдеться про Адміністратора у ФОП.

Тож використовуйте код КП 4222.

Раді допомогти, звертайтесь ще!