Можливі обидва варіанти.

Згідно з ч. 5 ст. 10 Закону «Про правовий режим воєнного стану» (https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/389-19#n78), у період дії воєнного стану особи призначаються на посади державної служби, посади в ОМС, посади керівників суб'єктів господарювання державного сектору економіки, комунальних підприємств, установ, організацій (якими, зазвичай, і є бібліотеки) керівником державної служби або суб'єктом призначення, сільським, селищним, міським головою, головою районної, районної у місті, обласної ради, начальником відповідної військової адміністрації без конкурсного відбору, обов'язковість якого передбачена законом. Керівники призначаються на підставі: поданої заяви; заповненої особової картки встановленого зразка; документів, що підтверджують наявність у них громадянства України; документів, що підтверджують освіту та досвід роботи згідно з вимогами законодавства, встановленими щодо відповідних посад.

Водночас, відповідно до Закону «Про бібліотеки і бібліотечну справу» (https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/32/95-%D0%B2%D1%80#Text) та ст. 21-2 Закону «Про культуру» (https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/2778-17/conv#n318) рішення про проведення конкурсу приймає орган управління в ОМС – ця норма залишається чинною і в умовах воєнного стану.

Тож законодавство не зобов'язує, але й не забороняє проводити в умовах воєнного стану конкурс на посаду директора бібліотеки, тож Ви можете прийняти будь-яке рішення – і про проведення конкурсу, і про призначення директора бібліотеки без нього.

Раді допомогти, звертайтесь ще!