Заголовок тимчасово відсутній

Ні, не може.

ВО ведеться працівником підприємства, на якого покладені обов'язки ведення обліку працівників.
Згідно п. 8 Порядку 1487 - https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/1487-2022-%D0%BF#Text - Організація військового обліку в державних органах, органах місцевого самоврядування, на підприємствах, в установах та організаціях покладається на відповідних керівників.
Обов’язки з ведення військового обліку в державних органах, органах місцевого самоврядування, на підприємствах, в установах та організаціях покладаються на працівників служби персоналу, служби управління персоналом.
У разі відсутності штатної одиниці служби персоналу обов’язки з ведення військового обліку покладаються на особу, яка веде облік працівників в державному органі, органі місцевого самоврядування, на підприємстві, в установі, організації.
Отже, аутсорсингова компанія не може вести ВО на підприємстві.

Також, зважайте, що:
1. За не ведення військового обліку адміністративний штраф накладається на керівника, адже він відповідальний за організацію військового обліку на підприємстві - п.8 Порядку 1487 - https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/1487-2022-%D0%BF#n358 .
2. За неналежне ведення військового обліку несе відповідальність особа, відповідальна за ведення військового обліку.

Адміністративний штраф – до 59 500 грн. Загалом, адміністративний штраф за ст. 210 КУпАП - https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/80731-10#Text :

• тягне за собою накладення штрафу на громадян від трьохсот до п’ятисот неоподатковуваних мінімумів доходів громадян і на посадових осіб органів державної влади, органів місцевого самоврядування, юридичних осіб та громадських об’єднань - від однієї тисячі до однієї тисячі п’ятисот неоподатковуваних мінімумів доходів громадян.

За ст. 210-1 КУпАП:

• на громадян – від 17 000 до 25 500 грн;
• на посадових осіб – від 34 000 до 59 500 грн.

Раді допомогти, звертайтесь ще!