Чи можливо проставити підпис при звільненні за розпорядженням

Так, можна.

Проте зверніть увагу, що якщо управління є відокремленим структурним підрозділом (окремою юридичною особою), то на підставі розпорядження міського голови начальник управління мав видати наказ про звільнення і саме він має бути вказаний у трудовій книжці як підстава для звільнення.

За рекомендаціями НАДС, у разі призначення особи на посаду до самостійного структурного підрозділу зі статусом юридичної особи публічного права відповідного органу міського самоврядування чи звільнення з неї, керівник такого самостійного структурного підрозділу має видати наказ про призначення на посаду в цей структурний підрозділ чи звільнення з посади на підставі розпорядження голови відповідного органу міського самоврядування.

Зміст такого наказу має повністю відповідати змісту розпорядження голови відповідної ради (сільського, селищного, міського голови, голови районної, районної у місті, обласної ради). У такому наказі слід вказати підставу, тобто відомості (дату та номер) розпорядження голови відповідної ради (у Вашому випадку – міського голови) про звільнення з посади.

У трудовій книжці працівника потрібно вказувати наказ керівника структурного підрозділу (начальника управління) – саме він є кадровим наказом (хоч і виданим на підставі розпорядження міського голови).

Раді допомогти, звертайтесь ще!