Так, можете.

У ч. 3 ст. 40 КЗпП (https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/322-08/conv#n231) міститься заборона на звільнення під час тимчасової непрацездатності лише з ініціативи роботодавця (тобто за підставами, наведеними у ст. 40 та ст. 41 КЗпП (https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/322-08#Text) – наприклад, за скороченням чисельності чи штату працівників), а звільнення за будь-якими іншими підставами, у т. ч. і за власним бажанням працівника у зв'язку з виходом на пенсію за ст. 38 КЗпП (https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/322-08/conv#n218), під час лікарняного є цілком припустимим – заборони щодо цього чинне законодавство не містить.

Особиста присутність працівника у Вашому випадку не потрібна – адже працівник перебуває на лікарняному, тому відсутність його підпису у наказі про звільнення та особовій картці є обгрунтованою. Але щоб виконати обов'язки, передбачені у ст. 47 КЗпП (https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/322-08/conv#n310), потрібно буде надіслати працівнику в день звільнення за адресою реєстрації копію наказу про звільнення і повідомлення про нараховані й виплачені йому суми при звільненні та саме в цей день провести остаточний розрахунок (лікарняний повністю оплатите пізніше, це не буде порушенням).

Раді допомогти, звертайтесь ще!