1) Так, можете.

2) Ні, не повинні.

3) У разі звільнення потрібно буде виплатити компенсацію за відпустку «на дітей».

1) Вам ніщо не заважає продовжити термін дії строкового трудового договору на певний час та надати працівниці відпустку по догляду за дитиною до трьох років – для цього Вам потрібна лише заява працівниці (відповідно до ч. 2 ст. 23 КЗпП (https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/322-08/conv#n134) строкові трудові договори укладаються та, згідно з ч. 1 ст. 39-1 КЗпП (https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/322-08/conv#n227), продовжуються у випадках, коли трудові відносини не можуть бути встановлені на невизначений строк з урахуванням характеру наступної роботи, або умов її виконання, або інтересів працівника – за Ваших обставин підставою для продовження дії строкового трудового договору будуть саме інтереси працівниці).

2) Обов'язку звільнення працівниці у Вас немає – навпаки, відповідно до ст. 184 КЗпП (https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/322-08/conv#n1018) звільнення вагітних жінок та жінок, які мають дітей віком до трьох років, у зв'язку із закінченням строку трудового договору допускається лише за умови їх працевлаштування (через центр зайнятості або самостійно).

3) Якщо ж Ви таки вирішите звільнити працівницю, то при звільненні їй має бути виплачено грошову компенсацію за відпустку «на дітей», але за умови, що вона надасть довідку з місця роботи батька дітей, що він за відповідний рік таку відпустку не використовував (оскільки наразі скористатися відпусткою «на дітей», передбаченою ст. 19 Закону «Про відпустки» (https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/504/96-вр/conv#n214), може як мати, так і батько дітей, але лише хтось один із них, то для виплати грошової компенсації при звільненні за відпустку «на дітей» працівник має надати документальне підтвердження того, що другий з батьків не користувався за відповідний рік такою відпусткою).

Раді допомогти, звертайтесь ще!