Так, потрібно звільнити під час хвороби.

Після закінчення дії строкового трудового договору працівник підлягає звільненню на підставі п. 2 ст. 36 КЗпП у зв’язку із закінченням строку дії трудового договору.

Для звільнення працівника достатньо лише наказу роботодавця. Не чекайте одужання працівника, щоб звільнити його у зв’язку із закінченням строку трудового договору (п. 2 ст. 36 КЗпП). Інакше строковий трудовий договір перетвориться на безстроковий. Якщо після закінчення строку трудового договору трудові відносини фактично тривають і жодна зі сторін не вимагає їх припинення, дія цього договору вважається продовженою на невизначений строк.

Отже, якщо строк дії трудового договору завершується: відстежуйте дату звільнення; вчасно видайте наказ про звільнення; письмово повідомте працівника про необхідність одержати трудову книжку (якщо вона зберігається на підприємстві) у день звільнення забезпечте повний розрахунок, згідно ст. 116 КЗпП https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/322-08#n697, надішліть копію наказу про звільнення згідно ст. 47 КЗпП https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/322-08#n310.

Докладніше у статті із зразками документів - https://kadroland.com/news/2219-zvilnennya-u-razi-zakincennya-stroku-trudovogo-dogovoru

Раді допомогти, звертайтесь ще!