Так, повинні.

Відповідно до ч. 1 ст. 15 Закону «Про загальнообов'язкове державне соціальне страхування» (https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/1105-14/conv#n1309) допомога по тимчасовій непрацездатності надається застрахованій особі у формі страхових виплат, які повністю або частково компенсують втрату заробітної плати (доходу). Оскільки Ваш працівник частину хвороби працював, то за цей час він не втратив заробіток, тому й були підстави не оплачувати лікарняний, проте ж надалі, коли працівник хворів і вже не виходив на роботу, лікарняний має бути оплачений.

Оформлюється оплата лікарняного стандартним протоколом – жодних особливостей у цьому немає. Якщо ж на один лікарняний припадає кілька днів, коли працівник працював, і кілька – коли ні, то лікарняний має бути оплачений частково (частину днів (коли працівник не виходив на роботу) вказати у розділі призначення виплат, а частину (коли він працював) – у розділі щодо відмови внаслідок виходу на роботу).

Раді допомогти, звертайтесь ще!