Ні, вихідну допомогу виплачувати не потрібно.

Вихідна допомога виплачується працівнику згідно ст 44 КЗпП https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/322-08#n299:

- п.6 ст.36 відмова працівника від переведення на роботу в іншу місцевість разом з підприємством, установою, організацією, а також відмова від продовження роботи у зв'язку із зміною істотних умов праці

- з ініціативи роботодавця ст 40 КЗпП

а) змін в організації виробництва і праці, в тому числі ліквідації, реорганізації, банкрутства або перепрофілювання підприємства, установи, організації, скорочення чисельності або штату працівників;

б) виявленої невідповідності працівника займаній посаді або виконуваній роботі внаслідок недостатньої кваліфікації або стану здоров'я, які перешкоджають продовженню даної роботи, а так само в разі відмови у наданні допуску до державної таємниці або скасування допуску до державної таємниці, якщо виконання покладених на нього обов'язків вимагає доступу до державної таємниці;

в) поновлення на роботі працівника, який раніше виконував цю роботу;

В вашому випадку, працівник сам виявив бажання звільнитися (заява за власним бажанням)

Тому вам потрібно звільнити працівника за власним бажанням згідно ст. 38 КЗпП датою яка зазначена у заяві, не відпрацювавши 2 тижні в звязку з поважних причин (довідка про стан здоровя) - абз.1 ст 38 https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/322-08#n218

Раді допомогти, звертайтесь ще!