Чи можливе укладення письмового трудового договору після прийняття

Ні.

Застосувати ч. 3 ст. 631 Цивільного кодексу України (ЦКУ) до трудових відносин не можна. Ця норма дозволяє сторонам встановити, що умови договору застосовуються до відносин, які виникли між ними до його укладення. Проте цивільне та трудове законодавство — це різні галузі права. Трудові відносини жорстко регулюються Кодексом законів про працю (КЗпП), де діють зовсім інші правила.

Відповідно до КЗпП с.24 Працівник не може бути допущений до роботи без укладення трудового договору, оформленого наказом чи розпорядженням роботодавця, та повідомлення центрального органу виконавчої влади з питань забезпечення формування та реалізації державної політики з адміністрування єдиного внеску на загальнообов’язкове державне соціальне страхування про прийняття працівника на роботу в порядку, встановленому Кабінетом Міністрів України.\

Але ви маєте право з наявними працівниками укласти письмові трудові договори. Датальніше тут : https://kadroland.com/news/9794-yak-uklasti-pismovi-trudovi-dogovori-yakshho-trudovi-vidnosini-vze-trivayut

https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/435-15#Text

Раді допомогти, звертайтесь ще!