Ні, не може.

Посаду директора в один день може займати лише одна людина – або старий директор, або новий.

За Ваших обставин старий директор на підставі рішення власника має видати не пізніше свого останнього робочого дня «сам на себе» наказ про своє звільнення (зразок такого наказу Ви можете знайти у нашому розділі «Документи» за посиланням: https://kadroland.com/documents/download/914).

А наступного дня – новий директор (знову ж таки на підставі рішення власника) повинен видати «сам на себе» наказ про своє призначення (зразок є за посиланням: https://kadroland.com/documents/download/5848).

Передавати справи у Вашому випадку старий директор новому не може – старий директор має передати справи власнику, поки ще перебуває на посаді, а власник – новому директору (звісно, вже після його призначення). Власник цілком має право прийняти справи від старого директора та передати новому, оскільки має управлінські функції. Принаймні, Ви так маєте вчинити хоча б формально – фактично новий директор може у день звільнення старого прийти на роботу та все перевірити, але актів має бути два і підписувати один з них має старий директор та власник, другий – власник і новий директор.

Раді допомогти, звертайтесь ще!