Ні, так робити не можна.

Відповідно до ч. 3 ст. 40 КЗпП (https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/322-08/conv#n231) у період тимчасової непрацездатності працівника звільнення з ініціативи роботодавця (у т. ч. і за прогул) не допускається. А лікарняний Вам доведеться оплатити, оскільки його було відкрито ще під час трудових відносин працівника з Вашим підприємством.

Після закриття лікарняного також не варто звільняти за прогул у ті дні, які припали на проміжок між двома лікарняними – адже звільнення за також підставою допустимо лише у разі, коли це прогул без поважних причин (п. 4 ст. 40 КЗпП (https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/322-08/conv#n231)), а за Ваших обставин це, скоріш за все, пов'язано зі станом здоров'я працівниці (вона може мати навіть довідку про це, яка не оплачується, проте є підтвердженням наявності поважних причин для відсутності на роботі).

А от надалі, одразу після закриття лікарняного, якщо працівниця так і не вийде на роботу, витребуйте від неї пояснення (потрібно надіслати відповідний лист поштою за місцем реєстрації та/або фактичного проживання працівниці, а також електронною поштою чи через мессенджери) щодо причин її відсутності на роботі) та зафіксувати спроби зв'язатися з нею телефоном. Після цього необхідно скласти акт у довільні формі, в якому будуть відображені результати вжитих заходів для з'ясування причин відсутності працівника на роботі (в акті мають бути викладені конкретні причини відсутності працівника на роботі або вказано те, що з'ясувати причини не вдалось). Якщо жодних поважних причин, які виключають вину працівниці щодо вчинення прогулу, не буде встановлено й не буде знову відкрито лікарняний, то можна буде видавати наказ про звільнення за п. 4 ст. 40 КЗпП (https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/322-08/conv#n231). Текст наказу може бути таким: «1. Звільнити працівницю таку-то такою-то датою у зв'язку з вчиненням прогулу без поважних причин за п. 4 ст. 40 КЗпП України. 2. Бухгалтерії провести остаточний розрахунок з працівницею такаю-то і виплатити їй компенсацію за стільки-то днів невикористаної щорічної відпустки».

Раді допомогти, звертайтесь ще!