Чи може керівник підписувати документи під час лікарняного

Ні, не може.

Під час тимчасової непрацездатності ані директор, ані будь-який інший працівник не може виконувати свої обов'язки, у т. ч. й підписувати будь-які документи. Винятком є лише випадок, коли директор одночасно є і засновником підприємства – тоді він може підписати документи, виконуючи не трудові, а управлінські функції як власник підприємства (звісно, це не Ваш випадок). На час відсутності директора його обов'язки, у т. ч. і щодо підпису документів, має виконувати його заступник чи інша особа, на яку покладається виконання обов'язків директора на час його тимчасової непрацездатності. У разі ж, якщо директор і під час лікарняного буде виходити на роботу та підписувати документи, то лікарняний йому оплачено не буде – відповідно до п. 1 ч. 1 ст. 15 Закону «Про загальнообов'язкове державне соціальне страхування» (https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/1105-14/conv#n1309) допомога по тимчасовій непрацездатності надається застрахованій особі у формі страхових виплат, які повністю або частково компенсують втрату заробітної плати (доходу), у разі настання тимчасової непрацездатності внаслідок захворювання або травми, не пов'язаної з нещасним випадком на виробництві. Оскільки ж при виході на роботу працівнику, у т. ч. і директору, нараховується заробітна плата, то втрати зарплати немає, відповідно, і лікарняний оплачено не буде.

Раді допомогти, звертайтесь ще!