Ні, не потрібно.

Основна робота та робота за сумісництвом жодним чином не пов'язані одна з одною й при звільненні з основного місця роботи не потрібно одночасно проводити й звільнення з роботи за сумісництвом.

Хоча відповідно до ст. 102-1 КЗпП (https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/322-08/conv#n633) сумісництвом вважається виконання працівником, крім основної, іншої оплачуваної роботи на умовах трудового договору у вільний від основної роботи час на тому самому або іншому підприємстві (тобто у працівника має бути основне місце роботи), але, по-перше, у Вашого працівника основне місце роботи «не зникне» (оскільки прийняття на іншу основну роботу відбудеться без проміжку в часі), а по-друге, навіть якби і сталося так, що цей проміжок би був, у чинному законодавстві відсутні норми щодо відповідальності роботодавця за те, що працівник був оформлений у нього за сумісництвом без наявності основного місця роботи (це один з тих випадків, коли вимога у правових нормах є (про наявність основного місця роботи), а відповідальності за її недотримання – немає).

Раді допомогти, звертайтесь ще!