Ні, не повинен.

ВО ведеться тільки по військовозобов'язаним працівникам до 60 років.
Призовники, військовозобов’язані, резервісти, а також жінки з медичною або фармацевтичною освітою при працевлаштуванні обов’язково надають військово-обліковий документ - https://kadroland.com/news/4321-dokumenti-shho-podaje-viiskovozobovyazanii-pracivnik-pri-priiomi-na-robotu.
В 60+ років (чи 65+ для осіб вищого офіцерського складу) працівник вже не являється військовозобов'язаним.
Згідно з Порядком 1487 - https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/1487-2022-%D0%BF#n470 - військовий облік ведеться, щодо осіб з числа призовників, військовозобов'язаних та резервістів. До списку потрібно включати усіх чоловіків віком від 18 до 60 років, які не виключені з військового обліку та жінок, які стоять на військовому обліку.
Загальне правило – це вік до 60 років, але для осіб вищого офіцерського складу граничний вік перебування в запасі – до 65 років - згідно зі ст. 28 Закону №2232 - https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/2232-12#n591 .

Раді допомогти, звертайтесь ще!