1. Відповідно до ст. 24 КЗпП https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/322-08/conv#n141 працівник не може бути допущений до роботи без укладення трудового договору, оформленого наказом чи розпорядженням роботодавця, та повідомлення центрального органу виконавчої влади з питань забезпечення формування та реалізації державної політики з адміністрування єдиного внеску на загальнообов’язкове державне соціальне страхування про прийняття працівника на роботу в порядку, встановленому Кабінетом Міністрів України.
Як бачите, в трудовому законодавстві немає зобов'язальної норми про написання заяви працівником про приняття на роботу, але є обов'язок про видання наказу про прийняття. Для видання наказу про прийняття, у Вашому випадку, підставою буде письмовий трудовий договір. Але і написання заяви не буде помилкою.

2. Ні, в повідомленні про прийняття зазначається реквізити саме наказу про прийняття.

3. Ви можете скористатися саме типовою формою трудового договору про дистанційну роботу (Типова форма трудового договору про дистанційну роботу), та у разі потреби, доповнити необхідні Вам пункти+ наказ+ заява (якщо приймете рішення про необхідність).

Раді допомогти, звертайтесь ще!