Відповідно до законодавства, записи в трудових книжках робить уповноважена особа підприємства (як правило – кадровик або особа, на яку покладено такі функції наказом) - Інструкція про порядок ведення трудових книжок працівників від 29.07.93 N 58 https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/z0110-93#Text

Якщо кадровика немає, і директор відсутній, тоді власник підприємства (засновник) може прийняти рішення про призначення іншої особи, уповноваженої вести трудові книжки та підписувати відповідні записи.

Власник (учасник/засновник) підприємства має видати рішення (наказ/розпорядження), яким:

покладає виконання обов’язків директора або хоча б кадрових функцій на іншу особу (навіть якщо це єдиний працівник, що залишився);
або сам бере на себе ці повноваження.

Тільки після цього записи в трудових книжках будуть законними.
У випадку звільнення самого директора (який мобілізований):

рішення про його звільнення приймає засновник (власник);
запис у трудовій книжці вносить особа, уповноважена вести кадрову документацію (або сам власник).

Раді допомогти, звертайтесь ще!