Не потрібно.

Ви нічого не направляєте відразу. Припинити трудові відносини без свідоцтва про смерть ви не можете. Умовно візьміть декілька тижнів паузи. Якщо ніхто не звертається за належними померлому виплатами, то рекомендуємо надіслати на адресу померлого рекомендований лист, щоб повідомити про належні суми працівникові. Якщо за коштами ніхто не з’являється, то можна:

• зберігати кошти, які належать померлому працівникові, на рахунку підприємства до появи спадкоємців;
  звернутися до послуг нотаріуса (державного чи приватного), який здійснює діяльність у нотаріальному окрузі


• за місцем виконання зобов’язання. Підприємство як боржник може погасити свій борг шляхом внесення належної померлому працівнику заробітної плати на депозит нотаріуса (ч. 1 ст. 537 ЦКУ, лист Мін’юсту від 12.03.2012 №113-0-2-12/13.1).
  

За правилами ч. 1 ст. 1227 Цивільного кодексу України (далі – ЦКУ) суми заробітної плати, пенсії, стипендії, аліментів, допомог у зв'язку з тимчасовою непрацездатністю, інших соціальних виплат, які належали спадкодавцеві, але не були ним одержані за життя, передаються членам його сім'ї, а у разі їх відсутності – входять до складу спадщини. Так само і грошова компенсація за невикористану відпустку у разі смерті працівника, що не була одержана за життя, виплачується членам сім’ї такого працівника, а у разі їх відсутності – входить до складу спадщини. Тобто і зарплату, і компенсацію відпустки слід виплатити членам сім’ї померлого працівника.

Більш детально тут https://kadroland.com/news/1040-pripinennya-trudovix-vidnosin-cerez-smert-pracivnika-osoblivosti-ta-kadrovi-dokumenti#rozrakhunok-iz-pomerlym-pratsivnykom

Раді допомогти, звертайтесь ще!