Чи може директор підписати заяви на іншого директора

Ні, переписувати не потрібно.

Керівник підприємства без доручення діє від імені підприємства, представляє його інтереси в органах державної влади і органах місцевого самоврядування, інших організаціях, у відносинах з юридичними особами та громадянами, формує адміністрацію підприємства і вирішує питання діяльності підприємства в межах та порядку, визначених установчими документами (ч. 5 ст. 65 ГК https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/436-15#n492 ).

Тож якщо будь-який підлеглий у відпустці директор має прави виконувати його обов’язки без будь-яких наказів і відповідно розглядати заяви працівників, адресовані тимчасово відсутньому підлеглому.

Раді допомогти, звертайтесь ще!