Чи можна вказати нову відповідальну особу в трудовій книжці

Ні, не можна.

Відповідно до п. 2.12. Інструкції про порядок ведення трудових книжок працівників, затвердженої наказом Мінпраці, Мін'юсту, Мінсоцзахисту від 29.07.1993 р. № 58 (https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/z0110-93#Text), першу сторінку (титульний аркуш) трудової книжки підписує особа, відповідальна за видачу трудових книжок, і після цього ставиться печатка підприємства (або печатка відділу кадрів), на якому вперше заповнювалася трудова книжка. Тобто підписати титульну сторінку має саме перший роботодавець, який відкривав працівнику трудову книжку – Ви не можете проставити свій підпис замість нього (роботодавець за останнім місцем роботи має право лише робити записи про зміну про прізвища, ім'я, по батькові чи дату народження працівника, проте не може підписувати титульний аркуш трудової книжки).

Тож Вашому працівнику потрібно звернутися на своє перше підприємство, аби підпис було проставлено саме там.

Раді допомогти, звертайтесь ще!