Заголовок тимчасово відсутній

Ні, не може.

Ніщо не заважає прийняти на роботу директора з вихідного дня (чинне законодавство цього не забороняє), проте оскільки субота, на скільки зрозуміло із запитання, є вихідним днем для Вашого підприємства, то видавати будь-які накази у вихідні дні директор не може.

У Вашому випадку буде кращим варіантом, якщо рішення засновника про призначення директора буде ще у п'ятницю, 10.05.2024 р. (але саме призначення – з 11.05.2024 р.) – за таких обставин наказ про прийняття на роботу нового директора зможе видати ще «старий» директор, оскільки цей день ще є його робочим днем (нехай і останнім) – такий варіант є цілком припустимим і є альтернативним тому, коли новий директор у перший день роботи видає наказ про вступ на посаду. Якщо ж Ви з певних причин не можете скористатися таким варіантом, то тоді призначення директора оформлюйте лише з 13.05.2024 р. (тобто рішення про призначення може бути видано і в суботу, 11.05.2024 р., але про призначення директора лише з понеділка, 13.05.2024 р.).

Раді допомогти, звертайтесь ще!