Ні, звільняти працівника не потрібно.

Строковий трудовий договір укладається у випадках, коли трудові відносини не можуть бути встановлені на невизначений строк з урахуванням характеру наступної роботи, або умов її виконання, або інтересів працівника та в інших випадках, передбачених законодавчими актами.

Якщо після закінчення строку трудового договору ( статті ст. 39-1 Кодексу законів про працю ) трудові відносини фактично тривають і жодна із сторін не вимагає їх припинення, дія цього договору вважається продовженою на невизначений строк.https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/322-08#n227

Трудові договори, що були переукладені один чи декілька разів, за винятком випадків, передбачених частиною другою статті 23, вважаються такими, що укладені на невизначений строк.

За потреби строковий трудовий договір може бути продовжений якщо:

працівник дає згоду на продовження строку трудового договору.
для продовження строку трудового договору є підстави, передбачені статтею 23 КЗпП (характер виконуваної роботи, умови її виконання, інтереси працівника або вимоги законодавства).

Отже, якщо строковий договір сплинув і особа продовжує працювати, то такий договір вважається продовженим на невизначений період, при цьому потрібно видати наказ , що далі працівник продовжує працювати за трудовим безстроковим договором.

Раді допомогти, звертайтесь ще!