Ні, не може.

При звільненні працівнику обов'язково мають нарахувати та виплатити компенсацію за всі невикористані дні щорічної основної та додаткових відпусток.

Згідно зі статтею 24 Закону України «Про відпустки» https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/504/96-%D0%B2%D1%80#n258 та статтею 116 Кодексу законів про працю України (КЗпП) https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/322-08#n697 :

"У разі звільнення працівника йому виплачується грошова компенсація за всі не використані ним дні щорічної відпустки, а також додаткової відпустки працівникам, які мають дітей або повнолітню дитину-інваліда з дитинства підгрупи А I групи."
Роботодавець не має права не виплатити компенсацію.

Працівник не може відмовитися від цієї компенсації або "перенести" її на нове місце роботи.
Виплата компенсації здійснюється в день звільнення.

Чи можна використати відпустку на новому місці роботи?
Ні, не можна.
Право на використання відпустки чи отримання за неї компенсації виникає у працівника за кожним конкретним місцем роботи окремо. На новому підприємстві працівник почне накопичувати стаж для відпустки з першого дня роботи.

Винятком може бути лише за умови переведення працівника з одного підприємства на інше (за згодою керівників обох підприємств). Законодавство України передбачає можливість перерахування суми компенсації за невикористану відпустку з попереднього місця роботи на нове.

У вашому випадку працівник звільняється, а потім працевлаштовується (без процедури переведення). Тому єдиний законний варіант — це отримання компенсації при звільненні.

Раді допомогти, звертайтесь ще!