Так, можуть.

У ч. 2 ст. 24 КЗпП (https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/322-08/conv#n204) прямо зазначено, що працівник не може бути допущений до роботи без укладення трудового договору, оформленого наказом чи розпорядженням роботодавця, та повідомлення центрального органу виконавчої влади з питань забезпечення формування та реалізації державної політики з адміністрування єдиного внеску на загальнообов'язкове державне соціальне страхування про прийняття працівника на роботу (тобто повідомлення до ДПС про новоприйнятого працівника). Допоки Ви не отримали квитанцію 1 (прийняту), яка є фактичним підтвердженням про отримання даних (квитанцію 2 чекати не обов'язково), Ви не могли допускати працівника до роботи.

Допуск працівника до роботи без повідомлення ДПС про прийняття є порушенням трудового законодавства, за що у ст. 265 КЗпП (https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/322-08/conv#n1422) передбачено штраф у розмірі мінімальної заробітної плати, встановленої законом на момент виявлення порушення (на сьогодні це 8 000 грн).

Раді допомогти, звертайтесь ще!