Заповнення графи 3 трудової книжки для філії підприємства

Так, майже правильно.

Відповідно до п. 2.14. Інструкції про порядок ведення трудових книжок працівників, затвердженій Мінпраці, Мін'юсту та Мінсоцзахисту населення від 29.07.1993 р. № 58 (https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/z0110-93#Text), при прийнятті на роботу у графі 3 розділу «Відомості про роботу» як заголовок пишеться повне найменування підприємства, надалі – відомості про прийняття на роботу за певною посадою/професією, розряду (за наявності) та структурного підрозділу.

У Вашому випадку філія є структурним підрозділом (нехай і відокремленим) головного підприємства. Тож Ви все вирішили правильно, окрім повторної вказівки головного підприємства у записі про прийнятті на роботу – Ви його вже зазначили у заголовку, як найменування підприємства. Таким чином, запис має бути таким: «Прийнято монтажником… до ТОВ «філія Ейр».

Раді допомогти, звертайтесь ще!