Так, може.

Відповідно до п. 8 Порядку 1487 https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/1487-2022-%D0%BF#Text, обов’язки з ведення військового обліку в державних органах, органах місцевого самоврядування, на підприємствах, в установах та організаціях покладаються на працівників служби персоналу, служби управління персоналом.
У разі відсутності штатної одиниці служби персоналу обов’язки з ведення військового обліку покладаються на особу, яка веде облік працівників в державному органі, органі місцевого самоврядування, на підприємстві, в установи, організації.
За відсутності окремої посади наказом керівництва призначають відповідальну особу, тому директор теж може бути відповідальною особою. Потрібно видати наказ про покладання обов'язків, шаблон документу розміщено у розділі Документи за посиланням Наказ про покладання обов’язків із ведення військового обліку на директора

Раді допомогти, звертайтесь ще!