Чи зобов'язані інспектори відділу кадрів готувати накази

Ні, інспектор відділу кадрів не зобов'язаний готувати накази з основної діяльності, якщо це не передбачено його посадовою інструкцією, і у вас є відповідальна за це структура — сектор документального забезпечення (канцелярія, документознавці).

Інспектор відділу кадрів (провідний, старший) — зазвичай готує:

Накази з кадрових питань:
Прийом, звільнення, переведення
Відпустки, відрядження
Сумісництво, зміна режиму праці тощо
Супровід кадрових документів (трудові книжки, особові справи, табелі тощо)
Сектор документального забезпечення / канцелярія — зазвичай готує:

Накази з основної діяльності (адміністративні, розпорядчі документи)
Контроль за реєстрацією, обліком, зберіганням та передачею документів
Ведення журналів реєстрації, архівування, облік вихідної/вхідної документації
У вашій ситуації потрібно перевірити посадові інструкції інспектора відділу кадрів та завідувача сектору документального забезпечення. Якщо у інспектора немає обов’язку готувати накази з основної діяльності — він має право відмовитись.

Якщо у канцелярії цей обов’язок є — відповідальність лежить на них

Раді допомогти, звертайтесь ще!