Заголовок тимчасово відсутній

Загалом є чітка норма, що відповідальним за ведення військогвого облікук повинен бути працівник відділу персоналу, а якщо такого працівника немає, то особа, що здійнює облік працівників.
Цілком можлива ситуація, що інспектор з кадрів не погоджує на виконання додаткови обов"язків, в такому разі я не бачу нічого протиправному в тому, щоб директор поклав на себе виконання обов"язків відповідальної особи, якшр більше немає, кому вести облік.
Проте, як до цього поставиться ТЦК, сказати важко, адже формально у вас є інспектор з кадрів.
Як вараінт, прийняти за суміснисництвом у відділ персоналу ще одну особу (внутрішнього сумісника) і покласти на нього обов"язки із ведення військового обліку. Це на випадок, якщо ви не готові сперечатися з ТЦК.

Раді допомогти, звертайтесь ще!