Чи можу я підписати запис про звільнення без керівника

Так, можете.

З дня набрання чинності змінами, внесеними до ст. 48 КЗпП (https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/322-08/conv#n314), тобто з 10.06.2021 р., трудова книжка має зберігатися у працівника, а записи до неї, у т. ч. і про звільнення, вносяться на вимогу працівника. Оскільки у вказаній нормі не зазначено, протягом якого терміну працівник може звернутися до роботодавця з вимогою про звернення відповідного запису, то Ви, як провідний інспектор з кадрів, можете внести запис про звільнення за своїм підписом, оскільки на час, коли працівник звернувся, Ви вже є працівником підприємства й маєте необхідні повноваження для внесення запису.

Дотримуватися зазначеного у п. 2.4. Інструкції про порядок ведення трудових книжок працівників, затвердженої наказом Мінпраці, Мін'юсту та Мінсоцзахисту від 29.07.1993 р. № 58 (https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/z0110-93#Text), тижневого строку внесення до трудової книжки усіх записів, у т. ч. і щодо звільнення, необхідно лише у випадках, коли трудова книжка працівника зберігається на підприємстві.

Раді допомогти, звертайтесь ще!