Ні, в.о. директора не може видати наказ про власне звільнення з основного місця роботи.

Це створює конфлікт інтересів, оскільки одна й та сама особа виступає одночасно і працівником, якого звільняють, і роботодавцем (особою, уповноваженою на звільнення).
Наказ про звільнення повинен видати вищий орган управління, який призначив цього працівника виконуючим обов'язки директора.

Для комунальних закладів вищим органом управління, як правило, є місцевий орган виконавчої влади, відповідне управління (наприклад, управління культури, освіти, охорони здоров'я) або орган місцевого самоврядування (міська/сільська рада, виконком).
Працівник (в.о. директора) подає заяву про звільнення до органу, який його призначав на посаду в.о. директора або уповноважений вирішувати кадрові питання керівника КЗ. Цей орган розглядає заяву та приймає рішення про звільнення працівника з основного місця роботи.
Рішення органу управління оформлюється відповідним розпорядчим документом (наприклад, розпорядженням, наказом або протоколом засідання).

Саме цей орган управління (або уповноважена ним особа) видає наказ про звільнення працівника з основного місця роботи. У наказі про звільнення має бути зазначено, на підставі якого рішення (розпорядження, протоколу) органу управління здійснюється звільнення.
Отже, документ про звільнення з основного місця роботи має бути підписаний не самим працівником як в.о. директора, а представником органу, якому підпорядкований комунальний заклад.

Зазвичай правильніше було б, якщо орган управління КЗ приймав одночасно два рішення :

Припинити повноваження поточного в.о. директора (або вказати дату їх закінчення) та призначити нового в.о. директора з конкретної дати.

В такому разі наказ про звільнення підписував би новий в.о. директора.

Раді допомогти, звертайтесь ще!