Чи можливо внести запис про трудову діяльність без звільнення

Так, маєте право.

Ви як новий роботодавець (Підприємство 2) маєте право внести запис про прийняття працівника на роботу наступним порядковим номером після останнього наявного запису, навіть якщо там відсутні відомості про звільнення з Підприємства 1.
Законодавство України не зобов'язує та не уповноважує вас виправляти помилки чи заповнювати пропуски, допущені іншими компаніями.

Роботодавець на вимогу працівника зобов’язаний вносити до трудової книжки, що зберігається у працівника, записи про прийняття на роботу, переведення та звільнення, заохочення та нагороди за успіхи в роботі. Це прямо передбачено ч. 3 ст. 48 Кодекс законів про працю України https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/322-08#n314

При цьому на це не впливає наявність чи відсутність попередніх записів у трудовій книжці.

Водночас можна порадити працівникові спочатку внести попередні записи у попередніх роботодавців. Якщо ж він того не бажає – можете сміливо внести запис про прийняття на роботу до вас на підприємство. Проте внесення запису про прийняття «поверх» незакритого попереднього трудового договору призведе до того, що в реєстрі ПФУ у працівника виникне «перетин» періодів роботи, що в майбутньому може викликати проблеми з підтвердженням страхового стажу та нарахуванням пенсії.

Раді допомогти, звертайтесь ще!